لطالما كانت العمارة تشكيل فني ثلاثي الأبعاد، حيث يستخدم فيها المصمم المفردات البصرية التشكيلية والمبادئ التصميمية الأساسية لتتحول في نهاية المطاف إلى كتل معمارية. غالب الأبنية المعمارية تتكون من مجموعة تكوينات تتلخص في المادة والشكل والضوء، حيث يعتبر الضوء والظل نمط واحد مترابط ويساعد التلاعب بهما في إنتاج عمارة فنية غنية بالتفاصيل المميزة والثرية. كما يمكن للظل أن يجعل التصميم المعماري مليئاً بالحيوية ومنحه جاذبية خاصة حيث أنه يلعب دوراً مهماً في أحاسيس الإنسان وتجعله يعيش تجرِبة اكثر ثراءً وتفكيراً أعمق. فما هو الظل؟ وما هو الضوء والنور؟ يعرف الظل على أنه العتم أو الظلام الناتج عن حجب جسم ما للضوء وهو يخلق من النور أو الضوء ويعرف الضوء بأنه ذا ضوء ذاتي كضوء الشمس والقمر. أما عن النور فيعرف بضوء مباشر مأخوذ من مصدر ضوئي وهو إشعاع كهرومغناطيسي ويتم اكتسابه من جسم آخر.



العمارة بين النور والظلام:
يعتمد تصميم المباني المعمارية على التمازج بين الضوء والظل، حيث يعتبر الضوء هو مانحاً أساسياً للوجود.

من أنواع الظلال:
⦁ الظل الذاتي: وهو الجزء الغير مَعْرِض للضوء.
⦁ ظل ساقط: وهو إسقاط لحدود الظل الذاتي على الأسطح المجاورة.
⦁ شبه ظل: وهي حالة الوَسَط بين الظل والضوء.


للظل العديد من الإستخدامات حيث كان يستخدم في العمارة الدينية الغربية لتهيئة جو ديني روحاني والحصول على الغموض وكانوا يستخدمونها أيضاً لتقوية وإثارة مشاعر التبجيل والتقدير لدى الناس. كما كان للعمارة الإسلامية نصيب من التشكيل الجمالي بإستخدام الظلال، حيث كانوا يستخدمونها لحماية المباني من الحرارة العالية ولتعديل المناخ حيث يتم تظليل الأفنية الداخلية ووضع المشربيات على واجهات المنازل، كما يستخدم الظل لإظهار البعد الثالث للمباني وتحديد مقدار العمق والبروز في الواجهات المعمارية، وغالباً ما تُستغل في التأثيرات البصرية للإنسان وتعتمد أبضاً على نوع المبنى إن كان سكنياً أو تجارياً أو تعليمياً.


فيما يلي بعض من استخدامات الظل والنور في الواجهات الكتل المعمارية وتأثيرها على جو المكان:

متحف اللوفر في أبو ظبي:
صممت قبة متحف اللوفر بشكل مستوحى من أشجار النخيل والطبيعة في أبو ظبي، وتم استخدام التظليل الشمسي لسقف القبة والتظليل الذاتي للمباني، والسماح لدخول ضوء النهار لداخل المبنى من دون زيادة حرارته مما يساعد أيضاً على تحريك وتدفق الهواء داخل المبنى.وتُعد قبة المتحف، المستوحاة من الهندسة المعمارية العربية، بنية مُعقّدة مُكونة من 7,850 نجمة، مُكرّرة بمختلف الأحجام والزوايا في ثماني طبقات مختلفة. وعند مرور الشمس فوقها، تنساب أشعتها بواسطة نجوم القبة لرسم تأثير مُلهم داخل المتحف، يُعرف بإسم “شعاع النور”. فأوراقها تلتقط أشعة الشمس الساطعة من أعلى بحيث تنساب بقعاً من الضوء على أرض المتحف.

المقبرة الإسلامية في فرنسا:
‍استخدم في تصميمه ترميزاً لحياة البرزخ والمرحلة الإنتقالية بين المادة والنور وبين الوجود الحسي إلى الوجود الغير مرئي.

بانثيون في روما:‍
وهو يعتبر معبد لجميع الآلهة في روما حيث يسقط الضوء من ثقب مركزي كبير يسمى (العين) في الجزء العلوي من القبة، مما يؤكد منحنى السقف بواسطة التلاعب بالظل والنور، حيث أنه يؤكد رمزية ارتباط السماء بالعالم الأرضي.



أثر الظلال والإضاءة في الإيحاء البصري للواجهات:
لطالما كان الضوء ظاهرة تؤثر في الإنسان من الناحية الروحية والفيزيائية، فكان الضوء هو العامل المحرك والمحفز للمعماريين وتعاملهم معه على أنه عنصر تصميمي وليس فقط عنصر يوفر الرؤية الواضحة في المكان، حيث يُعرف المكان على أنه مكون من أماكن مضيئة وأماكن مظلمة فالتلاعب بالضوء والظل له أهمية وتأثير كبير على المكان من الناحية الحسية والإيحائية، كما أن للإضاءة الإصطناعية دوراً مهماً في تغير شكل الواجهة وإعادة تشكيلها من جديد. غالباً ما يستخدم الضوء في توفير رؤية سهلة وواضحة إلا أنه بمزجه مع الظل يعطينا ظاهرة حسية جمالية، حيث أن العين تعتبر عضو حساس له قدرة كبيرة على التمييز بسبب حساسيته للضوء ، كما يجعل الذهن يحدد طبيعة الأشياء بذلك يتشكل الإنطباع لدى الإنسان. إن علاقة الضوء بالعمارة علاقة تبادلية حيث أن الضوء لا يصبح مرئياً إلا بسقوطه على جسم أو شكلٍ ما ويؤثر في عناصر التصميم والحجم واللون والتباين أو من حيث تأثيره في جذب النظر إلى مكان ما.


العَلاقة بين الظل والنور والشكل والخامة:
يعتبر اختيار الخامات عنصر أساسي في التصميم وليس مكملاً له، والتعرف على الخامات والعوامل المؤثرة عليها يساعد في الوصول إلى تشكيلات ابتكارية.
تتأثر الخامات بالقيمة الضوئية من خلال شدة الضوء وزاوية الإسقاط والشكل، مما يؤثرا ذاً على ملمس الخامة،

ينقسم الملمس في العمارة إلى نوعين:
⦁ النوع الأول:

ملمس بصري وهو مثل النوافذ والأبواب والمواد الصلبة ويظهر من خلال تنظيم العناصر المعمارية.
⦁ النوع الثاني:

‍ فهو الملمس الحسي حيث يمكن الحصول عليه من مواد البناء مثل الطوب والزجاج.
ثم إن لشكل السطح المستقبل للضوء تأثيراً واضحاً على شكل وحجم الظل. فالسطوح المقعرة تتسبب في قصر الظل، أما السطوح المحدبة فتسبب في إطالة الظل ولها خاصية تقصير الظل تبعاً نوع ودرجة التحدب للسطح. أما بالنسبة للسطح المستوي فتختلف تبعاً زاوية واتجاه الضوء المُسقط عليه.


دراسة تحليلية لواجهات مباني:

قام طلاب أحد الجامعات بدراسة تأثير الظل على 3 واجهات لمباني تجارية تتكون من بين 3 إلى 10 طوابق وشملت الأشكال الآتية:

شكل واجهة هندسي منتظم.
شكل واجهة غير منتظم.
شكل واجهة مختلط يجمع بين المنـتظم وغير المنتظم.حيث تم تثبيت الشدة واللون وتغيير الإتجاه وقد تم تثبيت تراكيب إنارة على طول الواجهة بمسافة معينة وتم تغيير اتجاه إنارتهم على حسب الزوايا الثلاث المؤثرة (45، 60، 80) وقد تم اختيار ثلاث ألوان (الأبيض، الأزرق، الأحمر)، حيث يعبر اللون الأبيض عن جميع الألوان، أما اللون الأزرق يعبر عن الألوان الباردة أما اللون الأحمر فيعبر عن الألوان الحارة.

⦁ الواجهة المنتظمة:

‍أثر الضوء بزاوية 45 على إيحاء بإنتظامية الواجهة، أما الضوء بزاوية 60 فأوحى بديناميكية الوجهة، أما الضوء بزاوية 80 فقد أوحى بإستقرار أكثر للواجهة. الواجهة الغير منتظمة: أثر الضوء بزاوية 45 على التقليل من التناقضات البصرية بالواجهة وجعلها تميل للإستقرارية أكثر، أما الضوء بزاوية 60 فقد أوحى بأن شكل الواجهة بانورامي أكثر وزاد من ديناميكيتها، أما الضوء بزاوية 80 فقد أوحى بإنتظام الواجهة وتناظرها.

‍⦁ الواجهة المختلطة:

‍أثر الضوء بزاوية 45أن الواجهة متصلة، أما الضوء بزاوية 60 قد أوحى أن الواجهة ديناميكية وذات اختلافات حقيقية. أما الضوء بزاوية 80 فقد أوحى بتناظر بصري وانتظامية أكثر.



بينما تؤثر بنية المبنى على حياتنا في عدة أبعاد مختلفة، فإن اختيار الألوان في البناء يجعل طريقة البناء أكثر تأثيرًا.

وقد تطور استخدام الألوان في الهندسة المعمارية كثيرًا في السنوات القليلة الماضية.

وعلى الرغم من أن الألوان لها علاقة كبيرة بالعقل الباطن، إلا أنها تلعب دورًا حيويًا في خلق الانسجام بين العناصر المعمارية الداخلية والخارجية.تركيب فلاتر


بدءًا من مواد البناء مثل الخشب والأحجار والطوب والأسمنت الليفي إلى القوام الرائج لبلاط السيراميك والنوافذ، يعتبر مظهر ومظهر كل لون ذا أهمية كبيرة لخلق جو مثالي للمبنى.


نظرية الظلال هي فرع من فروع الهندسة الوصفية، تستخدم في تمثيل ظلال الأجسام بالنسبة لمصدر ضوء لاتهائي (الشمس) أو نهائي (شمعة). ظل جسم K على سطح J هي منطقة محددة ومغلقة وناتجة من تقاطع أشعة الضوء المتماسة للجسم K والسطح J.


ظلال محراب كروي

نظرية الظلال في الاكسنومتري الكافاليرا الافقية
"تعتبر نظرية الظلال إحدى المواضيع الأكثر شمولية للمفاهيم الأساسية للهندسة الوصفية والتي يمكن ملاحظتها كظاهرة طبيعية. ويمكن اعتبارها كملخص عام لمعظم مفاهيم الهندسة الوصفية، كأساليب الإسقاط (منظور، أكسنومتري)؛ مسائل التقابل المنظوري والأفيني (Bijection)، ومسائل التقاطع بين الكيانات الهندسية الأساسية (خط مستوى)، بين شكل مستويوظله، مقاطع مخروطية كظل خط على سطح مخروطي، منحنيات تربيعية كظل قطع مخروطي على سطح دوراني. . شكل4/2 : تسميات الظلال: ظل ذاتي، ظل ساقط، خط فاصل الظل، كفاف الظل الساقط.

يمكن تعريف نظرية الظلال بالدراسة التي تسمح، عندما يثبت مصدر ضوء، بإنشاء، من خلال سلسلة من الإنشاءات الهندسية، الظل الذاتي (Shade) والساقط (Shadow) لشكل ما

تم التأكيد ان الهندسة الوصفية يجب أن تؤخذ في الاعتبار من وجهتين نظر. الأولى باعتبارها وسيلة للوصول إلى تحديد بدقة النتائج المرجوة، وهذه هي الطريقة التي كانت تستخدم في قطع الحجارة والنجارة. من جهة ثانية، فهي وسيلة إظهار للكيانات الهندسية. في هذه الحالة تحديد الظلال هي ميزة مساعدة. تركيب فلاتر المياه


الدراسات الأولى عن الإنشاءات الهندسية للظلال في الاظهار ألمنظوري تعود إلى 1600 وبالخصوص إلى كتب كويدوبالدو ديل مونتي عن الاظهار المنظوري (Perspectivae Libri VI)ء، 1600 بيزا.

على وجه الخصوص، بالنسبة إلى الإنشاءات الهندسية للظلال في الإسقاطات المتعامدة، من المناسب الإشارة إلى دروس all'Ecoles Normales ل غاسبر مونج (القرنين الثامن عشر والتاسع عشر). تحديد الأشكال في الفراغ وطرق اطهارها هي مهمة الهندسة الوصفية التي هدفها حدد من قبل غاسبر مونج منذ البداية. من ضمن الرسومات التي نفذها مونج (Monge) كان هناك أيضا جزء يتعلق بنظرية الظلال. على بينة ان الرسوم ليس لها معنى عندما تفتقر إلى تأثيرات الظلال. . ومن الواضح ان الرسم مهما كان دقيق ولكنة يفتقر للظلال، يبدو غامض وغير محدد.

الاطروحات في مجال الهندسة الوصفية بعد مونج، تضمنت العديد من الدراسات التي كرست حيزا واسعا لموضوع الظلال، مثل، دراسات فاليه (1821- Vallee) ، هاشيت (1828Hachette) ، بيليت (1885 Pillet) .

تم الانتهاء من عملية الترميز في اطروحة المنظور الخطي (Traite’ de la Perspective Lineaire) من عمل لا گورنير (La Gourneire -1862)

وقد نشرت في نظرية الظلال الكياروسكورو دراسات مثيرة للاهتمام في إيطاليا من قبل تساري (Tessari 1880) ، وبونتشي (Bonci 1937) .



الظل في الاظهار الهندسي
الظلال في التمثيل الهندسي يطبق لإعطاء ادراك بعمق الفراغ، أي لخلق وهمية البعد الثالث على سطح الرسم، وأيضاً لإعطاء صورة صحيحة عن موضع الجسم في الفراغ. ولهذا فعملية التظليل تتطلب معرفة دقيقة بقواعد الهندسة الوصفية، لتكوين الفراغ المعماري.

الظل الناتج من جسم K هو عملية إسقاط للجسم K من مركز إسقاط C متطابق مع مصدر الضوء. الذي يمكن أن يكون نقطة نهائية كمصباح كهربائي (أو شمعة), أو نقطة لانهائية كالشمس.

بما ان الظلال تنتج من عملية إسقاط، ففي الحالة التي يكون فيها مصدر الضوء C نقطة نهائية، تلك العملية تعتبر اسقاط مركزي، والا فهي اسقاط متوازي، أي عندما يكون C نقطة لانهائية.

الظلال في الفن
تمثيل الظلال في الفن منذ نشأته، سمح بزيادة الشعور بالواقعية وبالعمق في الرسومات. ويمكن أن يعزى أول استخدام للظلال في تاريخ الرسم إلى مازاتشو (Masaccio)، حيث الاشكال تبدو أحجام حقيقية.


القديس-بطرس-يشفي-المرضى-بظله, وهي عنوان لوحة للفنان مازاتشو -1426-1427
أنواع الظلال
وفقاً للسطح (أو السطوح) الذي يستقبل الظل بالنسبة للجسم الماخوذ في الاعتبار، هناك ثلاثة تسميات للظلال، وهي:

ظل ذاتي هذا هو الجزء من K الغير معرض للضوء.
ظل ساقط : هو إسقاط لحدود الظل الذاتي على الأسطح المجاورة.
ظل ساقط ذاتي : هو إسقاط لحدود الظل الذاتي على سطح نفس الجسم K.
شبه ظل (penumbra), حالة وسيطة بين الظل والضوء، أي انتقال تدريجي من منطقة الضوء إلى منطقة الظل

خلفية علمية
في الفقرات التالية، هناك خلفية علمية (إسقاطية) أتاحت للهندسة الوصفية رسم الظلال في طرق الاظهار المختلفة (منظور، اكسنومتري، مونج). أي الإنشاءات الهندسية التي تأخذ في الاعتبار الاحتياجات الحقيقية عند ممارسة الرسم.

بالإضافة إلى المواضيع المتعلقة بإجراءات الرسم التقليدي، يتناول هذا النص التطورات الراهنة لنفس الموضوع. الذي مع ظهور أدوات الرسم الرقمي، لا يستخدم تلك الاجراءات في عدة إسقاطات فردية، ولكن من خلال عمليات إسقاط تلقائية لاي أي شكل من الأشكال على أي سطح. هذة العمليات تنفذ على نموذج افتراضي من واحد أو أكثر من مصادر الضوء، التي من الممكن انشائها في العديد من برامج الكمبيوتر المختصة. وبالإضافة إلى ذلك، في الحاسوب، أثر التصيير (Rendering) يسمح بدراسة مفصلة للمواد وكيف تتصرف عند التعرض للضوء وتشكيل الظل. وبالتالي على ما يبدو مواجهة هذة الإجراءات الرسومية غير ضرورية، ولكنها تسمح للمصمم إدارة واعية للظلال المتولدة تلقائياً، والتحكم بمنطق البرنامج المستخدم، وإلا فهو غير قادر على التدخل لاجتياز العقبات التي، كما هو معروف، تظهرها كل الادوات. هذه العقبات تؤدي إلى اعتماد الخيارات والحلول الوسط للوصول، في الحالات المختلفة، إلى تحقيق نتائج مفروضة: لهذا يجب معرفة المفهوم وتطبيقاته من أجل اتخاذ قرار الحل المناسب لكل حالة.

وعلاوة على ذلك، الظلال تثري رسم السكتشات السريعة لإعطاء الفكرة الأولية لمشروع ما. والتي بعد ذلك ستحدد بدقة من خلال النمذجة الرقمية. كما في هذه الحالة، للحصول على رسومات واقعية، هناك الحاجة إلى معرفة كيفية تحديد ظل الأشكال والتكوينات المكانية الأكثر شيوعا.

غالبا الظلال تسمح باستكمال المعلومات ثلاثية الأبعاد لشكل ما، لأنها تعتبر رؤيا من مركز إسقاط أخر، أي أن هناك إسقاطين لنفس الشكل: مركز الإسقاط الأول يتطابق مع مركز النظر والاخر مع مصدر الضوء. في كلتا الحالتين، من الضروري معرفة مفاهيم «عمليات الاسقاط والتقاطع» (operazioni di proiezioni e sezioni) لضمان تحقيق النتائج المرجوة. أو السماح لأفضل قراءة لنتائج الرسم واستبعاد غير مفهومة ومتناقضة أحيانا وغير ملائمة في كثير من الأحيان من من وجهة نظر جمالية.
تركيب فلاتر

تطبيقات الظلال في الاظهار تسمح بإنشاء الرسم التقني مثل الخطة الحجمية (Volumetric plan) حيث تراكب الظل والخطة يعطي المعلومات المفقودة، ألا وهي ارتفاعات الاشكال الممثلة. ويمكن استخدام الظلال لزيادة تاثير وهمية البعد الثالث في الخطة والعلو، والاكسنومتري والمنظور. والتي يمكن الحصول عليها بواسطة الرسم التقليدي أو الرقمي.

اسس الاسقاطية



نظرية الظل وتطبيقاتها في أساليب الاظهار: اسقاطات مونج والاكسنومتري الكافاليرا الافقية
العناصر المرجعية هي مصدر الضوء الذي تتفرع منة أشعة الضوء (والتي للتبسيط تعتبر خطوط مستقيمة)، الشكل الذي يستقبل الضوء والمستوى حيث يقع الظل. كفاف الظل لشكل ما، يعرف كمحموعة من نقط تقاطع أشعة الضوء الماسة ذلك الشكل مع المستوى المتلقي للظل. لرسم الظلال ضروري تحديد «الخط فاصل الظل» الذي يشير إلى الخط الذي يفصل بين منطقة الظل ومنطقة الضوء لمجسم ما. إسقاط الخط فاصل الظل على سطح، يحدد كفاف «الظل الساقط» على نفس السطح. يمكن اعتبار الخط فاصل الظل كالكفاف الظاهر بالنسبة لمركز نظر متطابق مع مصدر الضوء. الذي يمكن ان يكون نقطة لانهائية مثل الشمس، وفي هذه الحالة أشعة الضوء تكون موازية لبعضها البعض، أو انها تتقارب، عندما يكون مصدر الضوء نقطة نهائية مثل المصباح. ومن الممكن تمييز «الظل الذاتي الساقط» بظل الكيان الذي يقع على سطح نفس الكيان.


ظل ذاتي, ظل ساقط, خط فاصل الظل, كفاف الظل الساقط
يمكن ملاحظة أنه لا توجد مناطق في الظل تماما أو في الضوء تماما، ولكن هناك تدرجات من الضوء إلى الظل. قانون جيب التمام أو قانون لامبرت يحدد العلاقة بين كثافة الضوء لسطح ما والزاوية بين الأشعة الضوئية مع الخطوط العمودية على نفس السطح. يمكن ايجاد تطبيقات لهذا القانون في اظهار مستويات مختلفة الميلان بالنسبة لمصدر ضوء، أو في تدريج كثافة الضوء على سطح منحني.

في الواقع، كثيرا ما يحدث أن كيان يتلقى الضوء من مصادر مختلفة. وهذا يعني أن هناك مناطق من الكيان تتلقى ضوء من كل المصادر، والبعض من مصدر واحد والبعض الآخر لا يتلقى أي ضوء. في هذه الحالة يمكن ملاحظة الكرة مضائة من مصدر واحد (شكل)، ثم الكرة نفسها تظهر آثار الإضاءة المجموعة (الشكل) من مصدرين ضوء مختلفين S1 و


لظل والهندسة الاسقاطية
قبل مواجهة بعض الإجراءات لتحديد الظل في الطريقة التقليدية (أو من خلال الرسم ثنائي الأبعاد *)، فانة مثير للاهتمام، دون اعتبار اداة الرسم المستخدمة، معرفة ان تكوين الظل يكمن في العلاقة التي تنشأ بين الشكل في الفراغ ومسقطة على مستوى ما. حيث مصدر الضوء في هذه الحالة يتطابق مع مركز الإسقاط.


كيان يتلقى ضوء من من مصدر ضوء واحد أو من مصدرين مختلفين

ظل ذاتي, ظل ساقط ذاتي, ظل ساقط
لذلك في الفقرات التالية سوف نتعامل مع تشكيل الظل دون الاخذ في الاعتبار طريقة تمثيلها في أساليب الاظهار المختلفة (مونج، اكسنومتري، منظور) والتي ستناقش لاحقاً.

تحديد كفاف ظل لشكل ما يعتمد على نفس المبدأ الإسقاطي الذي هو أساس أساليب الاظهار المختلفة. مثلاً الإسقاط P' لنقطة P، على مستوى π، من مركز S، يُحدد بواسطة عمليات الإسقاط والتقاطع. أي، الإسقاط في عملية إيصال النقطتين P و S ؛ والتقاطع في ايجاد نقطة التقاطع P' بين الخط P - S والمستوى π. إذا استبدلنا مركز الإسقاط C بمصدر الضوء S, والظل P* بالإسقاط P' يمكننا ملاحظة أن عملية تحديد الظل مطابقة لعملية الإسقاط.

والإشارة إلى التشابه بين الظل والإسقاط، فيمكن اعتبار الظل الناتج عن مصدر طبيعي (والذي يفترض أنة يقع في اللانهاية) إسقاط متوازي (أو اسطواني), مثل طريقة مونج، الاكسنومتري والمنظور، في حين ان الظل الناتج عن مصدر ضوء اصطناعي يمكن اعتباره إسقاط مركزي (أو مخروطي), مثل الإسقاط المنظوري.

هذا التمييز مفيد لاعتماد نظام الإسقاط المناسب في تتبع كفاف الظل الساقط. والتي يمكن اعتبارها في أساليب الإظهار المختلفة كعملية إسقاط في الإسقاط.

عند التحقق من وجود علاقة إسقاطية بين العناصر المتورطة في إيجاد الظل، يمكن تحديد العلاقة بين الكائن وظله. العلاقة بين شكل مسطح ∆ وظلة ∆* تعتبر تقابل تألفي (أو افّيني) عندما يكون مصدر الضوء نقطة لانهائية، حيث محور التقابل هو خط التقاطع بين مستوى الشكل ∆ والمستوى الذي يتلقى الظل، ومركز التقابل هو مصدر الضوء نفسه. بينما إذا كان المصدر نقط نهائية، لا تتغير عناصر التقابل التي هي المحور u والمركز U, ولكن التناظر يسمى تقابل منظوري. بمجرد الانتهاء من تحديد متطلبات التقابل: المركز U والمحور u ونقطتين متقابلتين (أو خطين متناظرين)، يمكن المضي قدما لتحديد نقاط ظل أخرى من خلال استغلال خاصية التقابل، التي تكمن في اصطفاف النقاط المتناظرة مع المركز U وفي تقابل الخطوط المتقابلة على طول المحور u. على سبيل المثال، بمجرد إيجاد نقطتين متقابلتين مثل A* و A (الشكل --)، يمكن تحديد الظل B*: (للنقطة B) بتوصيل النقطتين A و B بواسطة الخط r، الذي يلتقي المحور u في النقطة t'α. والتي بتوصيلها A* نجد الخط r* (ظل الخط r)، الذي يتقاطع في النقطة B* (نقطة الظل المطلوبة) مع شعاع الضوء المار بالنقطة B